Question

已知关于x的二次方程x²-2（a-2）x+a²-5=0的两根为α、β，且αβ=2α+2β，则a=

 

，|α-β|=

 

．

Answer 1

分析：欲求|α-β|的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，再利用根与系数的关系可得：α+β=2（a-2），
αβ=a²-5，而αβ=2α+2β=2（α+β），a²-5=2[2（a-2）]，即可求得α的值，即可求得方程，解方程求得方程的两根，从而求得|α-β|的值．

解答：解：由题意知，
α+β=2（a-2），
αβ=a²-5，
而αβ=2α+2β=2（α+β），
∴a²-5=2[2（a-2）]，
∴a²-4a+3=0，
解得：a₁=1，a₂=3．
又∵方程有两根，
∴△=4（a-2）²+4（a²-5）=-16a+36≥0，
∴a≤

9

4

，
∴a₂=3舍去．
当a=1时，原方程化为：x²+2x-4=0，
解得，α=-1-

5

，β=-1+

5

，
∴|α-β|=2

5

．
故填空答案：1，2

5

．

点评：1、根与系数的关系为：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
2、将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
3、一元二次方程有根，则△≥0．