练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，矩形OABC，A（5，0），C（0，3）．直线y=kx交折线A-B-C于点P，点A关于OP的对称点A′
    （1）当A′恰好在CB边上时，C A′=
    4
    4
    ，k=
    1
    3
    1
    3

    （2）k=
    		3
    3
    		3
    3
    时，经过O、A、A′的抛物线恰好以A′为顶点，该抛物线的解析式是
    y=-
    2
    5
    		3
    x(x-5)    或y=-
    2
    5
    		3
    (x-
    5
    2
    )    2    +
    5
    2
    		3
    y=-
    2
    5
    		3
    x(x-5)    或y=-
    2
    5
    		3
    (x-
    5
    2
    )    2    +
    5
    2
    		3

    （3）若P在AB边上，A′在CB上方时，A′O、A′P交CB边于点E，F．求k为何值时△A′EF≌△BPF？并说明理由．
    （4）以OP为直径作⊙M，则⊙M与矩形OABC最多有
    6
    6
    个公共点，并写出公共点个数最多时k的取值范围
    11
    60
    ＜k＜
    60
    91
    且k≠
    3
    5
    11
    60
    ＜k＜
    60
    91
    且k≠
    3
    5
    （直接写答案）
    分析：（1）如图1，连接OA′，AA′．设A′（x，3）．
    根据矩形的性质，点的坐标与图形的性质以及勾股定理求得CA′=4，然后结合A（5，0）求得AA′的中点D的坐标是（4.5，1.5），从而求得k的值；
    （2）因为该抛物线经过点O、A，故可设交点式函数解析式y=ax（x-5）（a＜0）．由顶点坐标公式求得A′的坐标，结合轴对称的性质来求a的值；
    （3）根据全等三角形的对应边相等和对应角相等、勾股定理以及正切函数的定义来求k的值．
    （4）根据题意，画出图形，根据图形回答问题．
    解答：解：（1）如图1，连接OA′，AA′．设A′（x，3）（0＜x＜5）．
    ∵在矩形OABC中，A（5，0），C（0，3），
    ∴OA=5，OC=3．
    ∵点A与点A′关于直线OP对称，
    ∴OA′=OA=5，
    ∴在Rt△OCA′中，利用勾股定理知，CA′=
    		OA′2-OC2
    =
    		52-32
    =4，
    即C A′=4，
    ∴A′（4，3），
    ∴线段AA′的中点D的坐标是（4.5，1.5）在直线OP上，
    ∴k=
    1.5
    4.5
    =
    1
    3
    ．

    （2）∵该抛物线经过点O、A，
    ∴可设交点式函数解析式y=ax（x-5）（a＜0），即y=a（x-
    5
    2
    ）2-
    25
    4
    a．
    ∵该抛物线以点A′为顶点，
    ∴A′（
    5
    2
    ，-
    25
    4
    a）．
    ∴kAA′=
    -
    25
    4
    a
    5
    2
    -5
    =
    5
    2
    a    ，线段AA′的中点的坐标是（
    15
    4
    ，-
    25
    8
    a）．
    又∵点A与点A′关于直线OP对称，
    ∴线段AA′的中点的坐标是（
    15
    4
    ，-
    25
    8
    a）在直线OP上，
    则
    5
    2
    a•k=-1
    k=
    -
    25
    8
    a
    15
    4
    ，
    解得，
    a=-
    2
    5
    		3
    k=
    		3
    3
    ，
    ∴该抛物线的解析式是y=-
    2
    5
    		3
    x(x-5)    或y=-
    2
    5
    		3
    (x-
    5
    2
    )2+
    5
    2
    		3
    ；

    （3）当k=
    3
    7
    时，△A′EF≌△BPF．理由如下：
    如图2，设P（5，y）．∵点A与点A′关于直线OP对称，
    ∴△OAP≌△OA′P，
    ∴AP=A′P，OA=OA′=5．
    ∵△A′EF≌△BPF，
    ∴A′F=FB，A′E=BP，∠A′=∠B=90°，∠A′EF=∠BPF，
    ∴∠CEO=∠BPF，
    ∴
    3
    5-PF-BF
    =
    BF
    3-y
    PF2=BF2+(3-y)2
    y=PF+BF
    ，
    解得，y=
    15
    7
    ，则k=
    15
    7
    5
    =
    3
    7
    ；

     （4）如图3，最多有6个交点，k的取值范围是：
    11
    60
    ＜k＜
    60
    91
    且k≠
    3
    5
    ．
    当0＜k＜
    11
    60
    时，有4个共同点
    k=
    11
    60
    或
    60
    91
    时，有5个共同点；
    k=
    3
    5
    时，有4个共同点．
    故答案是：4，
    1
    3
    ；
    3
    7
    ；k=
    		3
    3
    ，y=-
    2
    5
    		3
    x(x-5)    或y=-
    2
    5
    		3
    (x-
    5
    2
    )2+
    5
    2
    		3
    ；6，
    11
    60
    ＜k＜
    60
    91
    且k≠
    3
    5
    ．
    点评：本题考查了二次函数综合题．注意，方程组的解法的应用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，矩形OABC的边OA、OC在坐标轴上，经过点B的双曲线的解析式为y=
    k
    x
    (x    ＜0），M为OC上一点，且CM=2OM，N为BC的中点，BM与AN交于点E，若四边形EMCN的面积为
    13
    4
    ，则k=
     
    ．
    精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    13、如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2-4x-2经过A，B两点．
    （1）求A点坐标及线段AB的长；
    （2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．
    ①当PQ⊥AC时，求t的值；
    ②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，矩形OABC在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（-2，2
    		3
    ），点E是BC的中点，点H在OA上，且AH=
    1
    2
    ，过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G，现将矩形折叠，使顶点C落在HG上，并与HG上的点D重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点．

    （1）求∠CEF的度数和点D的坐标；
    （2）求折痕EF所在直线的函数表达式；
    （3）若点P在直线EF上，当△PFD为等腰三角形时，试问满足条件的点P有几个，请求出点P的坐标，并写出解答过程．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，矩形OABC的顶点B点坐标为（3，2），点D是BC的中点．
    （1）将△ABD向左平移3个单位，则点D的对应点E的坐标为
    （-
    3
    2
    ，0）
    （-
    3
    2
    ，0）
    ；
    （2）若点E在双曲线y=
    k
    x
    上，则k的值为
    -3
    -3
    ，直线OE与双曲线的另一个交点F的坐标是
    （
    3
    2
    ，-2）
    （
    3
    2
    ，-2）
    ；
    （3）若在y轴上有一动点P，当点P运动到何处时PB+PF的值最小？求出此时的P点坐标．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案