Question

（1）填表：

n（凸多边形的边数）	3	4	5	…
m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值）	1	2	3	…

（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？
（3）取n=7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案；
（2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n-2；
（3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n个外角和为360°，可得k≤

360

45

=8，只有当n=8时，m才有最大值8，即可得当3≤n≤5时，凸n边形最多有n-2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n-1个内角等于135°；当n=8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．

解答：解：（1）∵三角形中只有一个钝角，
∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；
∵四边形的内角和为360°，
∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；
∵五边形的内角和为540°，
∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；
故答案为：1，2，3；

（2）由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n-2．
即m=n-2；

（3）取n=7时，m=6，验证猜想不成立；
设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，
∵凸n边形的n个外角和为360°，
∴k≤

360

45

=8，只有当n=8时，m才有最大值8，
讨论n≠8时的情况：
（1）当时n＞8，显然，m的值是7；
（2）当n=3，4，5时，m的值分别为1，2，3；
（3）当n=6，7时，m的值分别为5，6；
综上所述，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n-2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n-1个内角等于135°；当n=8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．

点评：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度较大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．