Question

6．如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 设AM与BE交点为D，过M作MF∥BE交AC于F，证出MF为△BCE的中位线，由三角形中位线定理得出MF=$\frac{1}{2}$BE，由翻折变换的性质得出：AM⊥BE，AD=MD，同理由三角形中位线定理得出DE=$\frac{1}{2}$MF，设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，得出BD=3a，MD=$\frac{1}{2}$AM=2a，即可得出结果．

解答 解：设AM与BE交点为D，过M作MF∥BE交AC于F，如图所示：
∵M为BC的中点，
∴F为CE的中点，
∴MF为△BCE的中位线，
∴MF=$\frac{1}{2}$BE，
由翻折变换的性质得：AM⊥BE，AD=MD，
同理：DE是△AMF的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$MF，
设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，
∴BD=3a，MD=$\frac{1}{2}$AM=2a，
∵∠BDM=90°，
∴tan∠EBC=$\frac{DM}{BD}$=$\frac{2a}{3a}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数；熟练掌握翻折变换的性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出MF=$\frac{1}{2}$BE，DE=$\frac{1}{2}$MF是解决问题的关键．