Question

11．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．
（1）几秒后P、Q两点相距25cm？
（2）几秒后△PCQ与△ABC相似？
（3）设△CPQ的面积为S₁，△ABC的面积为S₂，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S₁：S₂=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可；
（3）用t分别表示出CP、CQ，根据题意列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP=2xcm，CQ=（25-x）cm，
由题意得，（2x）²+（25-x）²=25²，
解得，x₁=10，x₂=0（舍去），
则10秒后P、Q两点相距25cm；
（2）设y秒后△PCQ与△ABC相似，
当△PCQ∽△ACB时，$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$，即$\frac{2y}{30}$=$\frac{25-y}{25}$，
解得，y=$\frac{75}{8}$，
当△PCQ∽△BCA时，$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，即$\frac{2y}{25}$=$\frac{25-y}{30}$，
解得，y=$\frac{125}{17}$，
故$\frac{75}{8}$秒或$\frac{125}{17}$秒后△PCQ与△ABC相似；
（3）△CPQ的面积为S₁=$\frac{1}{2}$×CQ×CP=$\frac{1}{2}$×2t×（25-t）=-t²+25t，
△ABC的面积为S₂=$\frac{1}{2}$×AC×BC=375，
由题意得，5（-t²+25t）=375×2，
解得，t₁=10，t₂=15，
故运动10秒或15秒时，S₁：S₂=2：5．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确解出一元二次方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．