Question

6．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为点A（1，0）和点C（-3，0），与y轴的交点为点B（0，3）．
（1）求抛物线关系式．（最后结果写成y=ax²+bx+c的形式）
（2）若顶点为点D，连接CD、CB，在x轴上取一动点P（m，0），m的取值范围是-3＜m＜-1，过点P作x轴的垂线，分别交CD、CB于点F、E，连接BF．
①判断EF与EP的长度关系，并说明理由．
②在点P运动过程中，△BEF可以为等腰三角形吗？求m的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）①首先利用待定系数法求得直线BC和CD的解析式，则EF和EP的长可以利用m表示出来，从而证得；
②利用m表示出△BEF的三边长，然后分成三种情况讨论，解方程求解即可．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是y=-x²-2x+3；
（2）①EF=EP．
理由是：y=-x²-2x+3=-（x+1）2+4，
则D的坐标是（-1，4）．
设直线BC的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式是y=x+3．
同理，直线CD的解析式是y=2x+6．
∵动点P（m，0）在x轴上，-3＜m＜-1，且PF⊥x轴．
∴点E（m，m+3），点F（m，2m+6），即PE=m+3，PF=2m+6．EF=PF-PE=（2m+6）-（m+3）=m+3．
∴EF=EP；
②点E（m，m+3），点F（m，2m+6），点B（0，3），-3＜m＜-1．
若△BEF为等腰三角形时，分成三种情况讨论．
1）当BF=EF时，则$\sqrt{{m}^{2}+（2m+3）^{2}}$=m+3，
解得：m=-$\frac{3}{2}$或0（舍去）；
2）当BF=BE时，$\sqrt{{m}^{2}+（2m+3）^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+{m}^{2}}$，
解得：m=-1（舍去）或-3（舍去）；
3）当EF=BE时，则$\sqrt{{m}^{2}+{m}^{2}}$=m+3，解得m=3+3$\sqrt{2}$（舍去）或3-3$\sqrt{2}$．
总上所述，符合要求的m的值有2个，分别是-$\frac{3}{2}$和3-3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，以及等腰三角形的讨论，正确利用m表示出△BEF的边长是关键．