Question

10．已知AB∥CD，点E为BC上一点，且AB=CD=BE，AE、DC的延长线交于点F，连BD．
（1）如图1，求证：CE=CF；
（2）如图2，若∠ABC=90°，G是EF的中点，求∠BDG的度数．

Answer 1

分析 （1）证∠CEF=∠CFE即可，由BE=AB，加上AB∥/CD，结论是显然的；
（2）连接BG，CG，可证△BCG≌△DFG，从而得出△BGD是等腰直角三角形；

解答 解：（1）∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠CFE，
∴∠CFE=∠AEB，
∵∠AEB=∠CEF，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF；
（2）如图2，连接AD，CG、BG，

∵AB∥CD，AB=CD，∠ABC=90°，
∴ABCD是矩形，
∵AB=BE，
∴∠BAE=45°，
∴∠FAD=45°，
∴△AFD、△ECF都是等腰直角三角形，
∴DF=AD=BC，
∵G是EF中点，
∴CG=FG，∠BCG=∠DFG=45°，
在△BCG和△DFG中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=FG}\\{∠BCG=∠DFG}\\{BC=DF}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DFG（SAS），
∴∠GBC=∠FDG，BG=DG
∵∠DCB=90°，
∴∠BGD=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，难度中等．第（1）问证明两条线段相等，而两条线段在同一个三角形当中，则转化为证角相等，这是常用的处理手段和证明技巧；第（2）问的关键在于巧妙地构造全等．