Question

设关于x的-元二次方程x²+2kx+

1

4

-k=0有两个实根，则k的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：先计算△=4k²-4（

1

4

-k）=4k²+4k-1，由关于x的一元二次方程x²+2kx+

1

4

-k=0有两个实根，得△≥0，即4k²+4k-1≥0；然后利用二次函数的图象解此不等式，解方程4k²+4k-1=0，得k₁=

2 +1

2

，k₂=

2 -1

2

，因此可得到4k²+4k-1≥0的解集，这样就得到了所求的k的范围．

解答：解：∵关于x的-元二次方程x²+2kx+

1

4

-k=0有两个实根，
∴△=4k²-4（

1

4

-k）=4k²+4k-1≥0．
解方程4k²+4k-1=0，得k₁=

2 +1

2

，k₂=

2 -1

2

，
所以4k²+4k-1≥0的解集为k≤

2 +1

2

或k≥

2 -1

2

．
所以k的取值范围为k≤

2 +1

2

或k≥

2 -1

2

．
故答案为k≤

2 +1

2

或k≥

2 -1

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了利用二次函数解一元二次不等的方法．