Question

已知：抛物线y=x²+（1-2a）x+a²（ a≠0 ）与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁≠x₂．
（1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
（2）若抛物线与y轴交于点C，是否存在这样的a使得OA²+OB²=OA+OB+OC-1成立，若存在，求出a，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程根的判别式求得k的取值范围；根据根与系数的关系和a的取值范围进行分析x₁和x₂的符号，从而证明其位置；
（2）结合（1）的结论运用方程的根表示OA和OB的长，再根据根与系数的关系求得a值，从而判定是否存在．

解答：解：（1）∵△=（1-2a）²-4a²=1-4a＞0，
∴a＜

1

4

．
∵x₁+x₂=2a-1，x₁x₂=a²，
又∵a＜

1

4

，且a≠0，
∴x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
∴x₁＜0，x₂＜0，∴A、B两点都在原点O的左侧．

（2）∵x₁＜0，x₂＜0，
∴OA=-x₁，OB=-x₂．
∵C（0，a²），
∴OC=a²．
∵OA²+OB²=OA+OB+OC-1，
∴x₁²+x₂²=-x₁-x₂+a²-1，
∴（2a-1）²-2a²=1-2a+a²-1，
∴a²-2a+1=0，
∴a=1（不合题意，舍去），
∴不存在这样的a．

点评：此题考查了抛物线与坐标轴的交点和一元二次方程的根之间的联系，能够运用根与系数的关系求得未知字母的值．