Question

如图，已知△ABO中，点B在x轴上，∠ABO=90°，点A（1，

3

），把△ABO绕点A按逆时针方向旋转到△ACD的位置，使点O的对应点D在x轴上，抛物线以点A为顶点且经过点C．
（1）求旋转角∠OAD的度数，并求点C的坐标；
（2）求出抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PC+PD的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据点A的坐标求出∠AOB=60°，然后判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠OAD=60°，作CE⊥x轴于点E，求出∠CDE=60°，然后求出CE、DE，再求出OE，从而得到点C的坐标；
（2）设顶点式解析式y=a（x-1）²+

3

，然后把点C的坐标代入求出a的值，即可得解；
（3）根据轴对称确定最短路线问题，直线OC与AB的交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线OC的解析式，再求解即可．

解答：解：（1）根据题意，可知AB=

3

，OB=1，
∵∠ABO=90°，
∴cos∠AOB=

AB

OB

=

3

1

=

3

，
∴∠AOB=60°，
∵AO=AD，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OAD=60°，
作CE⊥x轴于点E，
∵∠ADO=∠ADC=60°，
∴∠CDE=60°，
在Rt△CDE中，CE=DC•sin∠CDE=1•sin60°=

3

2

，
DE=CD•cos∠CDE=1•cos60°=

1

2

，
∴OE=2+

1

2

=

5

2

，
∴C（

5

2

，

3

2

）；

（2）由题意设抛物线解析式为y=a（x-1）²+

3

，把点C坐标代入，得
a（

5

2

-1）²+

3

=

3

2

，
解得，a=-

2 3

9

，
∴y=-

2 3

9

（x-1）²+

3

，
即y=-

2 3

9

x²+

4 3

9

x+

7 3

9

；

（3）存在．
抛物线y=-

2 3

9

（x-1）²+

3

的对称轴为直线x=1，
由（1）知△AOD是等边三角形，
∴BD=OB=1，
∴D（2，0），
∴点O与点D关于直线x=1对称，
设直线OC的解析式为y=kx，
把C（

5

2

，

3

2

）代入y=kx中，得

5

2

k=

3

2

，
∴k=

3

5

，
∴y=

3

5

x，
当x=1时，y=

3

5

×1=

3

5

，
∴点P（1，

3

5

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称确定最短路线问题，难点在于（3）确定出点P的位置．