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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S. 求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.

【答案】
(1)解:设此抛物线的函数解析式为:

y=ax2+bx+c(a≠0),

将A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三点代入函数解析式得:

解得

所以此函数解析式为:y=


(2)解:∵M点的横坐标为m,且点M在这条抛物线上,

∴M点的坐标为:(m, ),

∴S=SAOM+SOBM﹣SAOB

= ×4×(﹣ m2﹣m+4)+ ×4×(﹣m)﹣ ×4×4

=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8

=﹣m2﹣4m,

=﹣(m+2)2+4,

∵﹣4<m<0,

当m=﹣2时,S有最大值为:S=﹣4+8=4.

答:m=﹣2时S有最大值S=4


(3)解:设P(x, x2+x﹣4).

当OB为边时,根据平行四边形的性质知PQ∥OB,且PQ=OB,

∴Q的横坐标等于P的横坐标,

又∵直线的解析式为y=﹣x,

则Q(x,﹣x).

由PQ=OB,得|﹣x﹣( x2+x﹣4)|=4,

解得x=0,﹣4,﹣2±2

x=0不合题意,舍去.

如图,当BO为对角线时,知A与P应该重合,OP=4.四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4,Q横坐标为4,代入y=﹣x得出Q为(4,﹣4).

由此可得Q(﹣4,4)或(﹣2+2 ,2﹣2 )或(﹣2﹣2 ,2+2 )或(4,﹣4).


【解析】(1)先假设出函数解析式,利用三点法求解函数解析式.(2)设出M点的坐标,利用S=SAOM+SOBM﹣SAOB即可进行解答;(3)当OB是平行四边形的边时,表示出PQ的长,再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可;当OB是对角线时,由图可知点A与P应该重合.

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