Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=Rt∠，∠B=45°小宇用一块三角板EGF，使直角边EG与CD重合，点G与点C重合，直角边EG沿着CB从点C往点B平移，当点G运动到点B时，平移就结束．设CG的长度为xcm，梯形ABCD被直角边EG扫过的面积为ycm²，y与x的图象如图2所示，其中OP是线段，曲线PQ是抛物线的一部分，抛物线的顶点是Q（7，）．
（1）直接写出BC、AD、CD的长度；
（2）求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的范围；
（3）探究：三角板直角边EG在运动过程中，是否存在这样的点G，使得以A、D、G为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，求出x的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）易得四边形AG′CD为矩形，
∴AD=G′C=4，
∴CD=12÷4=3，
当x=7时，运动结束，
∴BC=x=7；

（2）当0≤x≤4时，
设函数解析式为y=kx，
∴4k=12，
k=3，
∴y=3x，
当4＜x≤7时，
设函数解析式为y=a（x-7）²+，
∴12=9a+，
解得a=-，
∴y=-（x-7）²+，
∴；

（3）AD=AG时，
GG′==，
所以x=4+，或者x=4-．
同理可得AD=DG，点D为两腰的交点时，
x=GG′=；
当AG=DG时，
x=AD=2．
分析：（1）当运动到点A时，面积开始不是均匀变化，那么AD=CG=4，根据面积为12可得CD为3，等于7时结束，那么BC=7；
（2）当x≤4时，可设函数解析式为y=kx，把（4，12）代入即可求解，当4＜x≤7时，利用顶点式即可求得相应函数解析式；
（3）A、D、G为顶点的三角形为等腰三角形时应分情况进行探讨．当AD=DG时，有1种情况，当AG=AD时，有2种情况，当AG=DG时，有一种情况．
点评：抛物线上有顶点坐标，所求的抛物线解析式应设为顶点式求解比较简便；三角形为等腰三角形，应分不同顶点为两腰的交点进行分类讨论．