Question

命题（*）：设a，b，c是非负实数，如果a⁴+b⁴+c⁴≤2（a²b²+b²c²+c²a²），则a²+b²+c²≤2（ab+bc+ca）
（1）证明命题（*）是正确的；
（2）试写出命题（*）的逆命题，并判定你写出的逆命题是否是真命题，写出理由．

Answer 1

分析：（1）不妨设a、b、c中a为最大，运用比差法进行证明即可，（2）首先写出逆命题，然后利用代值法进行判断．

解答：证明：（1）不妨设a、b、c中a为最大．
因为2（a²b²+b²c²+c²a²）-（a⁴+b⁴+c⁴）=（2ab）²-（a²+b²-c²）²≥0，
所以2ab≥a²+b²-c²，
a²+b²+c²=（a²+b²-c²）+2c²≤2ab+2c²≤2（ab+bc+ca）；

（2）（*）的逆命题：设a、b、c是非负实数．如果a²+b²+c²≤2（ab+bc+ca），
则a⁴+b⁴+c⁴≤2（a²b²+b²c²+c²a²），
这逆命题不真，例如a=4，b=c=1时，
a²+b²+c²=2（ab+bc+ca）=18，
而a⁴+b⁴+c⁴=258＞2（a²b²+b²c²+c²a²）=66．

点评：本题主要考查分式的等式证明的知识点，本题难度较大，运用比差法和特殊值法师解答本题的关键．