Question

已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断
①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，构造一个真命题，写出已知．求证，画图并给出证明．

Answer 1

解：选择①④．
已知：四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若 OA=OC，且AD∥BC．
求证：四边形ABCD为平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO．
又∵OA=OC，∠AOD=∠COB（对顶角相等），
∴在△AOD与△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD=BC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）（其它命题类似给分）．
分析：选择①④．由全等三角形的判定定理ASA证得△AOD≌△COB，所以四边形的对边AD=BC，且AD∥BC．
点评：本题考查了平行四边形的判定．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．