Question

18．如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB=150°；   
④四边形AO BO′的面积为6+3$\sqrt{3}$；   
⑤S_△AOC+S_△AOB=6+$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．
其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②③④
• C． ①②③⑤
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；
由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；
S四边形AOBO′=S_△AOO′+S_△OBO′=6+4$\sqrt{3}$，故结论④错误；
如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S_△AOC+S_△AOB转化为S_△COO″+S_△AOO″，计算可得结论⑤正确．

解答 解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
在△BO′A和△BOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=O′B}\\{∠1=∠3}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△BO′A≌△BOC（SAS），
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′=S_△AOO′+S_△OBO′=$\frac{1}{2}$×3×4+$\sqrt{3}$×4²=6+4$\sqrt{3}$，
故结论④错误；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S_△AOC+S_△AOB=S_{四边形AOCO″}=S_△COO″+S_△AOO″=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²=6+$\frac{9}{4}$，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤．
故选：C．

点评 本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①-结论④解题思路的拓展应用．