Question

6．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论①OH=$\frac{1}{2}$BF； ②∠CHF=45°； ③GH=$\frac{1}{4}$BC；④DH²=HE•HB中正确结论为①②④．（填序号）

Answer 1

分析 根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．①作EJ⊥BD于J，连接EF，由全等三角形的判定定理可得△DJE≌△ECF，再由平行线的性质得出OH是△DBF的中位线即可得出结论；
②根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论；
③根据OH是△BFD的中位线，得出GH=$\frac{1}{2}$CF，由GH＜$\frac{1}{4}$BC，可得出结论；
④由相似三角形的判定定理得出△DHG∽△BDH，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答 解：作EJ⊥BD于J，连接EF
①∵BE平分∠DBC
∴EC=EJ，
∴△DJE≌△ECF
∴DE=FE
∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°
∴∠HFE=$\frac{45°}{2}$=22.5°
∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°
∵DH=HF，OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF
∴OH=$\frac{1}{2}$BF
②∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分线，
∴DH=CH，
∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故②正确；
③∵OH是△BFD的中位线，
∴DG=CG=$\frac{1}{2}$BC，GH=$\frac{1}{2}$CF，
∵CE=CF，
∴GH=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$CE
∵CE＜CG=$\frac{1}{2}$BC，
∴GH＜$\frac{1}{4}$BC，故此结论不成立；
④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分线，
∴∠DBH=22.5°，
由②知∠HBC=∠CDF=22.5°，
∴∠DBH=∠CDF，
∵∠BHD=∠BHD，
∴△DHE∽△BHD，
∴$\frac{DH}{BH}$=$\frac{HE}{DH}$，
∴DH²=HE•HB，故④成立；
所以①②④正确．
故答案为①②④．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质等，解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．