Question

11．如图1，在平面直角坐标系中，第一象限内长方形ABCD，AB∥y轴，点A（1，1），点C（a，b），满足$\sqrt{a-5}$+|b-3|=0．

（1）求长方形ABCD的面积．
（2）如图2，长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点E从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．
①当t=4时，直接写出三角形OAC的面积为3；
②若AC∥ED，求t的值；
（3）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（-y+1，x+1）叫做点P的伴随点，已知点A₁的伴随点为A₂，点A₂的伴随点为A₃，点A₃的伴随点为A₄，…，这样依次得到点A₁，A₂，A₃，…，A_n．
①若点A₁的坐标为（3，1），则点A₃的坐标为（-3，1），点A₂₀₁₄的坐标为（0，4）；
②若点A₁的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点A_n均在x轴上方，则a，b应满足的条件为-1＜a＜1，0＜b＜2．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{a-5}$+|b-3|=0，各项非负即可求得C点坐标，结合图象，能找出其它几点的坐标，从而能得出长方形ABCD的面积；
（2）①拆分三角形，求出各个图形的面积即可求得；
②根据平移前A、C点的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，找出平移后点D、E的坐标，利用待定系数法可求出直线DE的一次项系数k值，由AC∥ED即可得出关于t的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（3）由伴随点的定义，可以找出数据的各个数值，从而发现规律，由规律即可得出结论．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-5}$+|b-3|=0，
∴a-5=0，b-3=0，即a=5，b=3，
∵四边形ABCD为长方形，
∴点B（1，3），点C（5，3），点D（5，1），
∴AB=3-1=2，BC=5-1=4，
长方形ABCD的面积为AB×BC=2×4=8．
（2）①将t=4时，线段AC拿出来，放在图3中，各字母如图，

∵点A′（5，1），点C′（9，3），
∴OM=5，ON=9，A′M=1，C′N=3，MN=ON-OM=4，
三角形OA′C′的面积=$\frac{1}{2}$ON•C′N-$\frac{1}{2}$OM•A′M-$\frac{1}{2}$（A′M+C′N）•MN=$\frac{27}{2}$-$\frac{5}{2}$-$\frac{16}{2}$=$\frac{6}{2}$=3．
故答案为：3．
②设长方形平移前直线AC的解析式为y=mx+n，
将A（1，1）、C（5，3）代入y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{m+n=1}\\{5m+n=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴长方形平移前直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
当运动时间为t时，点D（5+t，1），E（2t，0），
设此时直线DE的解析式为y=kx+b₁，
将（5+t，1）、E（2t，0）代入y=kx+b₁，
$\left\{\begin{array}{l}{（5+t）k+{b}_{1}=1}\\{2tk+{b}_{1}=0}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{5-t}$．
∵AC∥ED，
∴k=$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{5-t}$=$\frac{1}{2}$，
解得：t=3，
经检验，t=3是原方程的解，
故当AC∥ED，t的值为3秒．
（3）①根据题意可知：A₁（3，1），A₂（0，4），A₃（-3，1），A₄（0，-2），A₅（3，1），
由此发现此组数据以4个为一组进行循环，
2014÷4=503…2，即A₂₀₁₄=A₂，
故答案为：（-3，1）；（0，4）．
②根据题意可知：A₁（a，b），A₂（1-b，a+1），A₃（-a，2-b），A₄（b-1，1-a），A₅（a，b），
由此发现此组数据以4个为一组进行循环，
∵对于任意的正整数n，点A_n均在x轴上方，则有$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+1＞0}\\{2-b＞0}\\{1-a＞0}\end{array}\right.$，
解得-1＜a＜1，0＜b＜2．
故答案为：-1＜a＜1，0＜b＜2．

点评 本题考查了正方形的面积，平行线的性质、待定系数法求一次函数解析式、两直线平行或相交以及数的变换规律，解题的关键是：（1）根据算术平方根即绝对值的非负性求出a、b值；（2）①拆分三角形，求出各部分图形的面积②由两直线平行，找出关于t的分式方程；（3）利用伴随点的定义找到规律．