Question

阅读下列解题过程：

1

2 +1

=

1×( 2 -1)

( 2 +1)( 2 -1)

=

( 2 -1)

( 2 )2-12

=

2

-1

1

3 + 2

=

1×( 3 - 2 )

( 3 + 2 )( 3 - 2 )

=

3 - 2

( 3 )2-( 2 )2

=

3

-

2

1

4 + 3

=

1×( 4 - 3 )

( 4 + 3 )( 4 - 3 )

=

4 - 3

( 4 )2-( 3 )2

=

4

-

3

1

5 + 4

=

1×( 5 - 4 )

( 5 + 4 )×( 5 - 4 )

=

( 5 - 4 )

( 5 )2-( 4 )2

=

5

-

4

；

1

6 + 5

=

1×( 6 - 5 )

( 6 + 5 )×( 6 - 5 )

=

6 - 5

( 6 )2-( 5 )2

=

6

-

5

．
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子

1

n + n-1

=

 

；
（2）利用上面所提供的解法，请化简：

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+

1

5 + 4

+…+

1

10 + 9

的值．

Answer 1

分析：（1）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差；
（2）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算就可以了．

解答：解：（1）

1

n + n-1

=

n

-

n-1

；

（2）由题意可知：

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+

1

5 + 4

+…+

1

10 + 9

=-1+

2

-

2

+

3

-

3

+

4

-

4

+

5

+…-

9

+

10

=

10

-1．

点评：本题考查的是分式的加减运算，同时还考查了根据题目的已知来获取信息的能力，总结规律并运用规律是近年中考的热点之一．