Question

已知直线AC：y=

3

4

x+3与直线BC：y=-

4

3

x+8相交于点C，分别交x轴于点A、B，P为x轴上的一点，设P（m，0），以点P为圆心作圆．
（1）若-4＜m＜6．当m=

 

时，⊙P同时与AC、BC相切；
（2）设⊙P的半径为3，当m=

 

时，⊙P与直线AC、直线BC中的一条相切．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用三角函数得出MP=

3

5

AP与PN=

4

5

PB，由半径相等得出AP与PB的关系，由AP+PB=10，得出PB的长，再求出点P的坐标，即可求出m．
（2）根据⊙P与直线AC、直线BC中的一条相切，分为四种情况，与AC相切的两种，与BC相切的两种，结合（1）中的三角函数分别求出m的值．

解答：
解：（1）如图1，AC与⊙P切于点M，BC与⊙P切于点N，连接PM，PN，
∵直线y=

3

4

x+3与x轴交于点A与y轴交于点F，
∴A的坐标为（-4，0），F的坐标为（0，3）
∴在RT△AMP中，AF=

AO2+OF2

=

42+32

=5，
∴sin∠FAO=

FO

AF

=

3

5

，
∴sin∠MAF=

MP

AP

=

3

5

，即MP=

3

5

AP，
∵直线y=-

4

3

x+8与x轴交于点B与y轴交于点E，
∴B的坐标为（6，0），F的坐标为（0，8）
∴在RT△EOB中，BE=

OB2+OE2

=

62+82

=10，
∴sin∠OBE=

EO

BE

=

8

10

=

4

5

，
∴sin∠PBN=

PN

PB

=

4

5

，即PN=

4

5

PB，
∵MP=PN，
∴

3

5

AP=

4

5

PB，
∵AP+PB=10，
∴BP=

30

7

，
∴OP=OB-BP=6-

30

7

=

12

7

，
∴点P的坐标为（

12

7

，0）
∴m=

12

7

，
故答案为：

12

7

．
（2）①如图2，⊙P与AC切于点M，连接PM，

由（1）知sin∠FAO=

FO

AF

=

3

5

，
∵∠PMA=90°
∴sin∠PAM=

PM

AP

=

3

5

，
∴PM=3，
∴AP=5，OP=AO+AP=9，
∴P的坐标为（-9，0），
∴m=-9，
②如图3，⊙P与AC切于点M，连接PM，

由（1）知sin∠FAO=

FO

AF

=

3

5

，
∵∠PMA=90°
∴sin∠PAM=

PM

AP

=

3

5

，
∴PM=3，
∴AP=5，OP=AP-AO=1，
∴P的坐标为（1，0），
∴m=1，
③如图4，⊙P与BC切于点N，连接PN，

由（1）知sin∠OBE=

EO

BE

=

8

10

=

4

5

，
∵∠PNB=90°，
∴sin∠PBN=

NP

PB

=

4

5

，
∴NP=3，
∴PB=

15

4

∴OP=OB-PB=6-

15

4

=

9

4

，
④如图5，⊙P与BC切于点N，连接PN，

由（1）知sin∠OBE=

EO

BE

=

8

10

=

4

5

，
∵∠PNB=90°，
∴sin∠PBN=

NP

PB

=

4

5

，
∴NP=3，
∴PB=

15

4

∴OP=OB-PB=6+

15

4

=

39

4

，
故答案为：-9，1，

9

4

，

39

4

．

点评：本题主要考查了圆的综合题涉及圆的切线，一次函数及三角函数，解题的关键是根据圆的不同位置运用三角函数求解．