练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2007•随州）如图，直角梯形ABCD的腰BC所在直线的解析式为y=-x-6，点A与坐标原点O重合，点D的坐标为（0，-4），将直角梯形ABCD绕点O顺时针旋转180°，得到直角梯形OEFG（如图1）．
    （1）直接写出E，F两点的坐标及直角梯形OEFG的腰EF所在直线的解析式；
    （2）将图1中的直角梯形ABCD先沿x轴向右平移到点A与点E重合的位置，再让直角顶点A紧贴着EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移动时，总保持着AB∥FG），当点A与点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐标原点O．（如图2）
    ①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时，S的值恰好等于梯形OEFG面积的；
    ②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（利用图3进行探索）
    【答案】分析：（1）根据E（6，0），F（2，4），利用待定系数法可求得EF所在直线的解析式；
    （2）根据梯形OEFG的面积为（2+6）•4，A（a，-a+6，
    由题意得，
    若S的值为，则可得a2-6a+5=0，所以a1=1，a2=5，又a1=1不合题意，舍去，取a=5，
    可求得当a=5时，S的值恰好等于梯形OEFG的面积的；
    （3）满足条件的等腰△PAM的顶角应为120°，分下列三种情况考虑：
    ①当∠PAM为顶角时（如图1），设AB交y轴于点Q，OM=x，利用Rt△PQA，Rt△POM中的有关角和线段可求得P1（0，）；
    ②当∠PMA为顶角时，画图可知合条件的点P2在y轴的负半轴上，可求；
    ③当∠APM为顶角时（如图2）过点P3作P3N⊥AM于点M，点A与点F重合，即，所以满足条件的点P坐标为．
    解答：解：（1）E（6，0），F（2，4），EF所在直线的解析式为y=-x+6．

    （2）梯形OEFG的面积为（2+6）•4，
    ∵点A（a，b）在直线EF上，
    ∴A（a，-a+6，
    由题意得，
    若S的值为，则，
    ，
    即a2-6a+5=0，∴a1=1，a2=5，
    又a1=1不合题意，舍去，取a=5；
    ∴当a=5时，S的值恰好等于梯形OEFG的面积的．

    （3）显然，满足条件的等腰△PAM的顶角应为120°，分下列三种情况考虑：
    ①当∠PAM为顶角时（如图1），设AB交y轴于点Q，OM=x，
    ∵点A在直线y=-x+6上，∴AM=-x+6，
    在Rt△PQA中，∠PAQ=120°-90°=30°，
    ∴PQ=AP=AM；
    ∴OP=OQ+QP=AM=（-x+6），
    在Rt△POM中，∠PMO=90°-30°=60°，
    ∴OP=OM•tan∠PMO=x；
    ∴（-x+6）=x，x=．
    ②当∠PMA为顶角时，画图可知合条件的点P2在y轴的负半轴上；
    Rt△P2OM中，∠P2MO=120°-90°=30°，且OM仍为；
    ∴，
    即；
    ③当∠APM为顶角时（如图2）过点P3作P3N⊥AM于点M，
    设OM=x，在Rt△P3OM中，∠P3MO=90°-30°=60°，
    ∴，
    ∴，
    ∴，x=2，
    此时点A的坐标为，即点A与点F重合，∴，即，
    由①，②，③得，满足条件的点P坐标为．
    点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源：2007年湖北省随州市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （2007•随州）如图，直角梯形ABCD的腰BC所在直线的解析式为y=-x-6，点A与坐标原点O重合，点D的坐标为（0，-4），将直角梯形ABCD绕点O顺时针旋转180°，得到直角梯形OEFG（如图1）．
    （1）直接写出E，F两点的坐标及直角梯形OEFG的腰EF所在直线的解析式；
    （2）将图1中的直角梯形ABCD先沿x轴向右平移到点A与点E重合的位置，再让直角顶点A紧贴着EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移动时，总保持着AB∥FG），当点A与点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐标原点O．（如图2）
    ①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时，S的值恰好等于梯形OEFG面积的；
    ②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（利用图3进行探索）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2007年全国中考数学试题汇编《图形的相似》（05）（解析版） 题型：解答题

    （2007•随州）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．
    （1）求证：△PFA∽△ABE；
    （2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2007年全国中考数学试题汇编《相交线与平行线》（01）（解析版） 题型：选择题

    （2007•随州）如图，两条直线a、b被第三条直线l所截，如果a∥b，∠1=55°，那么∠2的度数为（ ）

    A．125°
    B．105°
    C．65°
    D．55°

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2007年湖北省随州市中考数学试卷（解析版） 题型：填空题

    （2007•随州）如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt△ABF中，∠AFB=90°，AF=4，AB=5．四边形EFGH的面积是    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案