Question

14．如图，正方形ABCD的边长为1，E是AD边上一动点，AE=m，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．延长BG交直线CD于点F．
（1）若∠ABE：∠BFC=n，则n=1：2；
（2）当E运动到AD中点时，求线段GF的长；
（3）若限定F仅在线段CD上（含端点）运动，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得∠ABF=∠BFC，根据折叠可得∠ABF=2∠ABE，由此得出n的值即可；
（2）先根据折叠的性质，判定Rt△EDF≌Rt△EGF，再设DF=GF=x，在Rt△BCF中运用勾股定理求得x的值即可；
（3）若限定F仅在线段CD上（含端点）运动，则分两种情况进行讨论：点F与点D重合，点F与点C重合，进而求得m的取值范围．

解答 解：（1）∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABF=∠BFC，
由折叠得，∠ABF=2∠ABE，
∴∠BFC=2∠ABE，
∴∠ABE：∠BFC=1：2，
∴n=1：2，
故答案为：1：2；

（2）当E运动到AD中点时，AE=DE=$\frac{1}{2}$，
由折叠得，DE=GE，∠EGF=∠D=90°，BG=AB=1，
根据DE=GE，EF=EF可得，Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=GF，
设DF=GF=x，则CF=1-x，
∵在Rt△BCF中，BC²+FC²=BF²，
∴1²+（1-x）²=（1+x）²，
解得x=$\frac{1}{4}$，
∴线段GF的长为$\frac{1}{4}$；

（3）若限定F仅在线段CD上（含端点）运动，则
①如图，当点F与点D重合时，AE=EG=GF=m，FE=1-m，
在Rt△EFG中，m²+m²=（1-x）²，
解得m=-$\sqrt{2}$-1（舍去），m=$\sqrt{2}$-1；
②如图，当点F与点C重合时，点E与点D重合，此时AE=AD=1，
∴m=1．
综上，m的取值范围是：$\sqrt{2}$-1≤m≤1．

点评 本题主要考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；当图形中出现直角三角形时，可以运用勾股定理求得线段的长，也体现了方程思想的应用．