Question

3．如图，已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=1，点P为线段BC上（不含B、C两点）的一个动点，PF∥y轴交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用含m的代数式表示线段PF的长；
（3）设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并确定当m为何值时△BCF的面积最大．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=1，直接利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）首先求得点A，B，C的坐标，即可求得直线BC的解析式，则可得PF=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m；
（3）首先连接BF，延长FP交x轴于点H，则可得S_△BCF=S_△PCF+S_△PBF=$\frac{1}{2}$PF•OH+$\frac{1}{2}$PF•BH=$\frac{1}{2}$PF•（OH+BH）=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{3}{2}$（-m²+3m），继而求得答案．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）∵当x=0时，y=3，
∴点C（0，3），
当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴点A（-1，0），点B（3，0），
设直线BC的解析式为：y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∴PF=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m；

（3）连接BF，延长FP交x轴于点H，
S_△BCF=S_△PCF+S_△PBF=$\frac{1}{2}$PF•OH+$\frac{1}{2}$PF•BH=$\frac{1}{2}$PF•（OH+BH）=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{3}{2}$（-m²+3m）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
则当m=$\frac{3}{2}$时，△BCF的面积最大．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的最值问题．注意掌握PF的表示方法是解此题的关键．