Question

在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB=6，CD=4，AD=2，作梯形的内接矩形AEFG，使点E在AB上，点F在BC上，点G在AD上．设EF=x．
（1）写出矩形AEFG的面积S与x之间的函数关系解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）写出梯形AGFB的面积S₁与x之间的函数解析式．

Answer 1

考点：直角梯形,根据实际问题列二次函数关系式

专题：

分析：（1）过点C作CM⊥AB于M，可以得到四边形AMCD是矩形，△BMC是等腰直角三角形，求出∠B=45°，然后求出EF=BE，再表示出AE，然后根据矩形的面积公式列式即可；
（2）同（1）表示出AE，根据矩形的对边相等可得GF=AE，然后根据梯形的面积公式列式整理即可得解．

解答：解：（1）如图，过点C作CM⊥AB于M，
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴四边形AMCD是矩形，
∴CM=AD=2，
∴AM=DC=4，
∴BM=AB-AM=6-4=2，
∴CM=BM=2，∠CMB=90°，
∴△BMC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵EF⊥AB，
∴BE=EF=x，
∴AE=AB-BE=6-x，
∴S=AE×EF=（6-x）x=6x-x²（0＜x＜2）；

（2）由（1）知，∠B=45°，
所以，△BEF是等腰直角三角形，
所以，BE=EF=x，
所以，GF=AE=6-x，
所以，S₁=

1

2

（6-x+6）•x=-

1

2

x²+6x．

点评：本题考查了直角梯形，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，列二次函数关系式，作辅助线构造出等腰直角三角形和矩形是解题的关键．