Question

如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=4，BC=12，AD=9，点P从点B开始沿射线BC以每秒2个单位的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒1个单位的速度移动，设P，Q两点同时开始运动，当Q到达终点A时，点P也随之停止．设移动的时间为t秒．
（1）若四边形PQDC是平行四边形，求t值；
（2）当t为何值时，△PQC为直角三角形？
（3）如果⊙P是以P为圆心，BP长为半径的圆，⊙Q是以Q为圆心，1为半径的圆，在移动的过程中，试探究：⊙P与⊙Q的位置关系，并求出相应的t的取值范围．

Answer 1

解：（1）当PC=DQ时，四边形PDCB是平行四边形，
∴12-2t=t，
∴t=4．
∴当t=4时，四边形PQDC是平行四边形．

（2）过Q点，作QE⊥BC于E，DF⊥BC，
∴DF=AB=4．
FC=BC-AD=12-9=3．
①当PQ⊥BC，
△PQC是直角三角形．则：12-2t-t=3，
∴t=3．
②当QP⊥QC，
∴QE=4，CE=3+t，PE=12-2t-（3+t）=9-3t，
∴16=（3+t）（9-3t），
解得：t=，
∴当t=3或时，△PQC是直角三角形．


（3）当两圆相切切时，有两种情况：四边形PCDQ是等腰梯形或平行四边形．
①等腰梯形时，根据题意得出，
QM=4，PQ=1+2t，PM=9-3t，
∴PM²+QM²=PQ²，
∴（9-3t）²+16=（1+2t）²，
整理得出：5t²-58t+96=0，
解得：t=2或t=9.6（不合题意舍去），
②平行四边形时，DQ=PC，
即t=12-2t，
解得：t=4．
∴t=2或4，两圆相切，
当0＜t＜2或4＜x≤9时，两圆外离，
当2＜t＜4时相交．
分析：（1）已知AD∥BC，添加PC=DQ即可判断以PQDC为顶点的四边形是平行四边形．
（2）点P处可能为直角，点Q处也可能是直角，而后求解即可．
（3）利用圆与圆的位置关系分别进行判定即可得出答案．
点评：此题主要考查了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及圆与圆的位置关系等知识，注意分情况讨论和常见知识的应用．