Question

已知直线：y₁=x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，且直线与双曲线：（x＞0）交于点C．
（1）如果点C的纵坐标比点B的纵坐标大2，求直线的解析式；
（2）若x＞2时，一定有y₁＞y₂，求b的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵直线：y₁=x+b与y轴交于点B，
∴点B的坐标为（0，b），
∵点C的纵坐标比点B的纵坐标大2，
∴点C的纵坐标为b+2．
设点C的坐标为（x，b+2），
∵直线：y₁=x+b与双曲线：（x＞0）交于点C，
∴b+2=x+b，b+2=，
解得x=2，b=0，
故直线的解析式为：y₁=x；

（2）∵y₁=x+b，（x＞0），
∴当x＞2时，y₁＞2+b，y₂＜2，
∴2+b＞2时，y₁＞y₂，
解得b＞0．
分析：（1）先根据直线：y₁=x+b与y轴交于点B，可求点B的坐标为（0，b），再由点C的纵坐标比点B的纵坐标大2，得到点C的纵坐标为b+2，然后将点C的坐标（x，b+2）分别代入直线与双曲线的解析式，即可求出x=2，b=0，进而得到直线的解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象性质得出x＞2时，y₁＞2+b，y₂＜2，那么2+b＞2时，y₁＞y₂，从而求出b的取值范围．
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的图象性质、交点问题及函数图象上点的坐标特征，运用待定系数法求函数的解析式，有一定难度．得到点C的纵坐标的值是解题的关键．