Question

6．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实线用剪刀均分成四块小长方形然后按图b的形状拼成一个大正方形．
（1）图b中的小正方形的边长等于m-n；
（2）图a中四个长方形的面积和为4mn；图b中四个小长方形的面积和还可以表示为（m+n）²-（m-n）²．
（3）由（2）写出代数式：（m+n）²，（m-n）²，mn之间的等量关系：（m+n）²-（m-n）²=4mn；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若x+y=8，xy=7，则（2x-2y）²=144．

Answer 1

分析 （1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；
（2）根据长方形面积公式可求图a中四个长方形的面积和；可以用大正方形的面积减去先方形的面积得到图b中四个小长方形的面积和；
（3）利用（2）可以得到（m+n）²-（m-n）²=4mn；
（4）根据（3）的结论得到（2x-2y）²=4（x-y）²=4（x+y）²-16xy，然后把x+y=8，xy=7代入计算．

解答 解：（1）图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m-n；

（2）图a中四个长方形的面积和为4mn；图b中四个小长方形的面积和还可以表示为（m+n）²-（m-n）²；

（3）（m+n）²-（m-n）²=4mn；

（4）（2x-2y）²=4（x-y）²=4（x+y）²-16xy，
当x+y=8，xy=7时，原式=256-112=144．
故答案为：m-n；4mn；（m+n）²-4mn；（m+n）²-（m-n）²=4mn；144．

点评 本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式．