Question

12．已知x-$\frac{1}{x}$=3，则$\frac{5{x}^{4}-{x}^{2}+5}{2{x}^{2}}$=27．

Answer 1

分析 x-$\frac{1}{x}$=3两边平方，得到x⁴+1=11x²，然后整体代入求值．

解答 解：（法一）由x-$\frac{1}{x}$=3，得（x-$\frac{1}{x}$）²=9
所以x²-2+$\frac{1}{{x}^{2}}$=9
即x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=11
所以$\frac{{x}^{4}+1}{{x}^{2}}=11$
所以5x⁴+5=55x²
所以原式=$\frac{54{x}^{2}}{2{x}^{2}}$
=27．
故答案为：27
（法二）$\frac{5{x}^{4}-{x}^{2}+5}{2{x}^{2}}$
=$\frac{5{x}^{4}+5}{2{x}^{2}}-\frac{1}{2}$
=$\frac{5}{2}（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}）$-$\frac{1}{2}$
由x-$\frac{1}{x}$=3，得（x-$\frac{1}{x}$）²=9
即x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=11
所以原式=$\frac{5}{2}×11-\frac{1}{2}$
=27
故答案为：27

点评 本题考查了完全平方公式和分式的化简．运用整体代入的思想是解决本题的关键．