Question

如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3，AD=5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A-B-C-D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．
（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；
（2）设P点运动时间为t（秒）．
①当t=5时，求出点P的坐标；
②若△OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．

Answer 1

分析：本题是二次函数的实际应用题，需要由易到难，逐步解答，（1）、（2）①比较简单，解答这两个问题，可以帮助我们理解题意，搞清楚题目数量关系；
②由于动点P的位置有三种可能，需要表达分段函数．

解答：解：（1）P点从A点运动到D点所需的时间=（3+5+3）÷1=11（秒）

（2）①当t=5时，P点从A点运动到BC上，
此时A点到E点的时间=10秒，AB+BP=5，
∴BP=2
过点P作PE⊥AD于点E，则PE=AB=3，AE=BP=2
∴OE=OA+AE=10+2=12
∴点P的坐标为（12，3）．
②分三种情况：
i.0＜t≤3时，点P在AB上运动，此时OA=2t，AP=t
∴s=

1

2

×2t×t=t²
ii.3＜t≤8时，点P在BC上运动，此时OA=2t
∴s=

1

2

×2t×3=3t
iii.8＜t＜11时，点P在CD上运动，此时OA=2t，AB+BC+CP=t
∴DP=（AB+BC+CD）-（AB+BC+CP）=11-t
∴s=

1

2

×2t×（11-t）=-t²+11t
综上所述，s与t之间的函数关系式是：
当0＜t≤3时，s=t²；
当3＜t≤8时，s=3t；
当8＜t＜11时，s=-t²+11t．

点评：本题是二次函数与矩形性质的综合题，也是动态几何问题，需要从运动中找规律，分类讨论．