Question

12．已知⊙O的直径为$4\sqrt{5}$cm，弦AB为8cm，P为弦AB上的一动点，若OP的长度为整数，则满足条件的点P有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 5个
• D． 7个

Answer 1

分析 找到两个极值点，点P与点A或点B重合时OP取得最大，此时OP=5，当OP⊥AB时，OP取得最小，从而求出OP的取值范围．

解答 解：①当点P与点A或点P重合时，OP=r=2cm；
②如图所示：
∵OP⊥AB，
∴AP=PB=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△OPB中，OP=$\sqrt{O{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2（cm）．
综上可得OP的取值范围为：2cm≤OP≤2$\sqrt{5}$cm．
则OP的整数值是2，3，4．其中长度是2cm的只有当OP⊥AB时一种情况，当OP=3cm、4cm各自有2种情况．则总计有5种．
故选C．

点评 本题考查了垂径定理的知识，平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，需要同学们熟练掌握．