Question

求所有的实数m，使得关于x的方程有且只有整数根．

Answer 1

解：由题意，得，
解得；
又由原方程，得
mx²+（3m+2）x+2m-1=0 ①
当m=0时，x=，不合题意（因为分母2x-1≠0）；
当m≠0时，设x₁、x₂（x₁≤x₂）是方程①的两个整数根，由韦达定理，得
x₁+x₂=-3-②
x₁•x₂=2-③
由②③消去m，得
（2x₁-1）（2x₂-1）=15，
∴（1），（2），（3），（4），
解得（1），（2）（舍去），（3），（4）
从而得m=，m=，m=．
分析：根据分式的性质（分母不为0）确定未知数x的取值范围；然后由根与系数的关系求得原方程的所有根；最后，将所有的整数根代入原方程并求得实数m的值．
点评：本题主要考查的是如何解分式方程：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．