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观察算式:
1
1×2
=1-
1
2
=
1
2

1
1×2
+
1
2×3
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
=
2
3

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=
3
4

按规律填空 
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
=
4
5
4
5

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+
1
5×6
=
5
6
5
6

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
99×100
=
99
100
99
100

若n为正整数,试求:
1
n(n+1)
+
1
(n+1)(n+2)
+
1
(n+2)(n+3)
+
1
(n+3)(n+4)
+…+
1
(n+99)(n+100)
的值,并写出求值过程.
分析:根据给出的算式可发现规律为:
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,按此规律将所给式子展开化简即可求得.
解答:解:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
=
4
5

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+
1
5×6
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
+
1
5
-
1
6
=
5
6

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
99×100
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
+…+
1
99
-
1
100
=
99
100

 
1
n(n+1)
+
1
(n+1)(n+2)
+
1
(n+2)(n+3)
+
1
(n+3)(n+4)
+…+
1
(n+99)(n+100)

=
1
n
-
1
n+1
+
1
n+1
-
1
n+2
+
1
n+2
-
1
n+3
+…+
1
n+99
-
1
n+100

=
100
n(n+100)

故答案为:
4
5
5
6
99
100
点评:此题主要考查学生对规律型题的掌握情况.注意此题的规律为:
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
.掌握由特殊到一般的归纳方法.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

观察算式:
1
1×2
=1-
1
2
1
2×3
=
1
2
-
1
3
1
3×4
=
1
3
-
1
4
,并以此规律计算:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2007×2008

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科目:初中数学 来源: 题型:

观察算式:
1
1×2
=1-
1
2
=
1
2

1
1×2
+
1
2×3
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
=
2
3

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=
3
4

(1)按规律填空
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+
1
5×6
=
 

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
99×100
=
 

(2)若n为正整数,化简:
1
n(n+1)
+
1
(n+1)(n+2)
+
1
(n+2)(n+3)
+
1
(n+3)(n+4)
+…+
1
(n+99)(n+100)
,并写出求解过程.

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科目:初中数学 来源: 题型:

观察算式:
1
1×2
=1
-
1
2
=
1
2

1
1×2
+
1
2×3
=1
-
1
2
+
1
2
-
1
3
=
2
3

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1
-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=
3
4


(1)按规律填空:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
=
4
5
4
5

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
99×100
=
99
100
99
100

③如果n为正整数,那么
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
n×(n+1)
=
n
n+1
n
n+1

(2)计算(由此拓展写出具体过程):
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
99×101

②1-
1
2
-
1
6
-
1
12
-…-
1
9900

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科目:初中数学 来源: 题型:

观察算式:
1
1×2
=1-
1
2
=
1
2

1
1×2
+
1
2×3
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
=
2
3

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=
3
4

按规律填空
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
=
4
5
4
5

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
99×100
=
99
100
99
100

如果n为正整数,那么
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1

由此拓展写出具体过程,
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
99×101

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