Question

1．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB•AF=CB•CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=x cm（x＞0），四边形BCDP的面积为y cm²．求y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）先利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC，则可判断Rt△DFA∽Rt△ACB，根据相似三角形的性质得AB•AF=BC•AD，然后利用AD=CD代换即可得到结论；
（2）连结PC，如图，先在Rt△ACB中利用勾股定理计算出AC=12，再利用等腰三角形的性质AF=FC=$\frac{1}{2}$AC=6，接着证明DE∥BC，则P点到BC的距离等于CF，然后根据三角形面积公式和y=S_△CPD+S_△BCP即可得到y与x的函数解析式．

解答 （1）证明：∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠BAC=90°，∠BAC+∠B=90°，
∴∠B=∠DAC，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴Rt△DFA∽Rt△ACB，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即AB•AF=BC•AD，
而AD=CD，
∴AB•AF=CB•CD；
（2）解：连结PC，如图，
在Rt△ACB中，∵AB=15，BC=9，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=12，
∵DF⊥AC，DA=DC，
∴AF=FC=$\frac{1}{2}$AC=6，
∵∠DFC=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴P点到BC的距离等于CF，
∴y=S_△CPD+S_△BCP
=$\frac{1}{2}$•x•6+$\frac{1}{2}$•9•6
=3x+27（x＞0）．

点评 本题考查了相似三角形的判断与性质：在判定两个三角形相似时，合理利用直角的作用．也考查了利用三角形面积公式列函数关系式．把四边形的面积化为两三角形面积的和是求函数关系式的关键．