Question

如图，⊙O的直径AB=8，弧AC=弧BC，E为OB上一点，∠AEC=60°，CE的延长线交⊙O于D，则CD的长为

1. A.
   6
2. B.
   4
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：连接OC、OD，过点O作OF⊥CD于点F．由等弧所对的圆心角相等知∠AOC=∠BOC=90°；根据垂径定理推知CF=DF=CD；然后根据直角三角形的特殊角的三角函数值求得CD=2CF=OC•cos30°．
解答：解：连接OC、OD，过点O作OF⊥CD于点F．
∵AB是⊙O的直径，C为弧AB的中点，
∴∠AOC=∠BOC=90°（等弧所对的圆心角相等）；
又∵O是圆心，OF⊥CD，
∴CF=DF=CD，（垂径定理）；
在Rt△OEC中，
∵∠AEC=60°，
∴∠OCE=30°（直角三角形的两个锐角互余）；
∴在Rt△OCF中，CF=OC•cos30°；
又AB=8，
∴OC=4；
∴CF=4×=2
∴CD=2CF=4．
故选D．
点评：本题考查的是垂径定理、解直角三角形的相关知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．