Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．
（1）当点D运动到线段AC中点时，DE=______；
（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=______时，⊙C与直线AB相切．

Answer 1

解：（1）∵∠C=90°，∠A=30°，，
∴BC=AB=2，AC=6，
∵∠C=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵D为AC中点，
∴E为AB中点，
∴DE=BC=，
故答案为：；

（2）过C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，BC=2，AB=4，AC=6，
∴由三角形面积公式得：BC•AC=AB•CH，
CH=3，
分为两种情况：①如图1，
∵CF=CH=3，
∴AF=6-3=3，
∵A和F关于D对称，
∴DF=AD=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴=，
∴=，
DE=；
②如图2，∵CF=CH=3，
∴AF=6+3=9，
∵A和F关于D对称，
∴DF=AD=4.5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴=，
∴=，
DE=；
故答案为：或
分析：（1）求出BC，AC的值，推出DE为三角形ABC的中位线，求出即可；
（2）求出AB上的高，CH，即可得出圆的半径，证△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．
点评：本题考查了三角形的中位线，含30度角的直角三角形性质，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．