Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD=2，点E，F分别在边CD，BC上，且BF=CE．连接BE，DF相交于点H，连接AH，BD相交于点G．若BF：FC=2：1，则AH=

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；证明△BDF≌△CBE，得到∠BDF=∠CBE，进而证明∠BHF=60°，此为解题的关键性结论；证明△BFH∽△BEC，得到

CE

BH

=

BE

AB

；证明△BCE∽△AHB，得到

BC

AH

=

BE

AB

，即可解决问题．

解答：解：取CD的中点M，连接BM；设CF=2λ，则F=4λ，BC=6λ；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD，而AB=BD=2，
∴BC=CD=BD=2，△BCD为等边三角形，
∴CM=3λ，BM=3

3

λ；
∵CE=BF=4λ，ME=λ；
由勾股定理得：BE²=BM²+EM²，
∴BE=2

7

λ；
在△BDF与△CBE中，

BF=CE ∠DBF=∠BCE BD=BC

，
∴△BDF≌△CBE（SAS），
∴∠BDF=∠CBE，
∴∠BHF=∠BDF+∠DBE=∠CBE=∠CBE+∠DBE=60°，
∴△BFH∽△BEC，
∴

BF

BE

=

BH

BC

，
∵BF=CE，BC=AB，
∴

CE

BE

=

BH

AB

，即

CE

BH

=

BE

AB

；
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠ABH，
∴△BCE∽△AHB，
∴

BC

AH

=

BE

AB

，即

6λ

AH

=

2 7 λ

6λ

，
∴AH=

18 7 λ

7

，而6λ=2，
∴AH=

6 7

7

，
故答案为

6 7

7

．

点评：该题主要考查了菱形的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．