Question

如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=

2

，∠DAB=45°，AB=3，如果把该平行四边形折叠，点A恰好与点C重合，那么折痕EF的长为

 

．

Answer 1

分析：由于已知∠DAB=45°，AD=

2

，可以构造45°的直角三角形△ADG，利用勾股定理可求AG、GD，由折叠可证四边形AECF为菱形，利用勾股定理，在Rt△AGE中求菱形边长，在Rt△AGC中求菱形对角线AC的长，根据菱形计算面积的两种方法，建立等式求EF．

解答：解：如图，过A点作CD的垂线，与CD的延长线交于G点，连接AE，CF，
∵AD=

2

，∠DAB=45°，
∴△ADG为等腰直角三角形，AG=GD=1，
设AE=x，由折叠可知，EC=AE=x，DE=3-x，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：AG²+GE²=AE²，
即：1²+（1+3-x）²=x²，解得x=

17

8

；
在Rt△AGC中，由勾股定理得：
AC=

AG2+GC2

=

12+(1+3)2

=

17

，
∵EF⊥AC，根据菱形AECF计算面积的方法可知，
AG×EC=

1

2

×EF×AC，即1×

17

8

=

1

2

×EF×

17

，
解得：EF=

17

4

．

点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等；同时，考查了构造直角三角形，运用勾股定理解题的方法．