Question

4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E、F都对角线AC上，且AE=EF=FC，则线段BE和DF的距离为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{3\sqrt{17}}{17}$
• D． $\frac{4\sqrt{17}}{17}$

Answer 1

分析 证明△DCF≌△BAE（SAS），得出DF=BE，∠DFC=∠BEA，得出∠DFE=∠BEF，证出DF∥BE，与AE=EF=FC，得出△BCE的面积=$\frac{1}{3}$×8=$\frac{8}{3}$，延长BE交AD于G，延长DF交BC于H，作FM⊥BE于M，CN⊥BE于N，FM∥CN由平行线得出AG=DG=1，BH=CH=1，由勾股定理求出BG=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{17}$，得出BE=$\frac{2}{3}$BG=$\frac{2\sqrt{17}}{3}$，由三角形面积求出CN=$\frac{8\sqrt{17}}{17}$，由三角形中位线定理得出FM=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$即可．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，
∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠ABC=90°，矩形ABCD的面积=4×2=8，
∴∠DCF=∠BAE，
在△DCF和△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=AB}&{\;}\\{∠DCF=∠BAE}&{\;}\\{CF=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△BAE（SAS），
∴DF=BE，∠DFC=∠BEA，
∴∠DFE=∠BEF，
∴DF∥BE，
∵AE=EF=FC，
∴△BCE的面积=$\frac{1}{3}$×8=$\frac{8}{3}$，
延长BE交AD于G，延长DF交BC于H，作FM⊥BE于M，CN⊥BE于N，则FM∥CN，
∵AE=EF=FC，
∴AG=DG=1，BH=CH=1，
∴BG=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴BE=$\frac{2}{3}$BG=$\frac{2\sqrt{17}}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$BE•CN=$\frac{8}{3}$，
∴CN=$\frac{8\sqrt{17}}{17}$，
∵FM∥CN，EF=FC，
∴FM=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
故选：D．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握矩形的性质，求出BG是解决问题的关键．