Question

如图平面直角坐标系xoy中，A（1，0）、B（0，1），∠ABO的平分线交x轴于一点D．
（1）求D点的坐标；
（2）如图所示，A、B两点在x轴、y轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON=45°，下列结论（1）BM+AN=MN，（2）BM²+AN²=MN²，其中有且只有一个结论成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论．

Answer 1

解：（1）过点D作DE⊥AB于E，设D点坐标为（m，0），根据题意得：
OB=1，0A=1，0D=m；
在Rt△AOB中，AB²=OA²+OB²，所以AB=，∠A=45°；
在△DOB和△EDB中，∠DOB=∠DEB，∠OBD=∠EBD，BD=BD，
∴△DOB≌△EDB，
∴OD=DE=m，OB=BE=1；
在△AED中，∠A=45°，∠AED=90°，
∴DE=AE=m，
∴1+m=，
∴m=-1，
∴D点坐标为（-1，0）．

（2）结论②正确；
过点O作OE⊥OM，并使OE=0M，
在△MOB和△EOA中，
OB=OA，∠MOB=∠AOE，OM=OE，
∴△MOB≌△EOA，
∴BM=AE，∠B=∠OAE，
在△MON和△EON中，
OM=OE，∠MON=∠NOE=45°，ON=ON，
∴△MON≌△EON；
∴MN=NE，
又∵∠NAE=∠NAO+∠OAE=90°，
∴△NAE为直角三角形，
∴NA²+AE²=NE²
∴BM²+AN²=MN²，即结论②正确．
分析：（1）过D作DE⊥AB于E，由于BD是∠ABO的角平分线，根据角平分线的性质知DO=DE，即可证得OD=DE，进而可证得△BOD≌△BED；在Rt△ADE中，∠EAD=45°，则AE=DE=OD，那么AE+BE=OD+OB=AB，即OD=AB-OB，由此求出OD的长，从而得到D点的坐标．
（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作OE⊥OM，且使得OE=OM，由于∠MON=45°，那么∠EON=∠MON=45°，即可证得△MON≌△EON，MN=NE；同理可通过证△MON≌△EON，来得到BM=AN，∠OAE=∠OBM=45°，因此在Rt△NAE中，根据勾股定理即可证得（2）的结论是正确的．
点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识的综合应用；能够正确的构造全等三角形是解决此题的关键．