Question

19．化简：
$\frac{1}{m×（m+n）}$+$\frac{1}{（m+n）（m+2n）}$+$\frac{1}{（m+2n）（m+3n）}$+…+$\frac{1}{（m+99n）（m+100n）}$．

Answer 1

分析 首先可将原式变形为$\frac{1}{n}$（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{m+n}$+$\frac{1}{m+n}$-$\frac{1}{m+2n}$+$\frac{1}{m+2n}$-$\frac{1}{m+3n}$+…+$\frac{1}{m+99n}$-$\frac{1}{m+100n}$），继而求得答案．

解答 解：原式=$\frac{1}{n}$（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{m+n}$+$\frac{1}{m+n}$-$\frac{1}{m+2n}$+$\frac{1}{m+2n}$-$\frac{1}{m+3n}$+…+$\frac{1}{m+99n}$-$\frac{1}{m+100n}$）=$\frac{1}{n}$×（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{m+100n}$）=$\frac{1}{n}$×$\frac{100n}{m（m+100n）}$=$\frac{100}{m+100n}$．

点评 此题考查了分式的加减运算．注意能将原式变形为$\frac{1}{n}$（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{m+n}$+$\frac{1}{m+n}$-$\frac{1}{m+2n}$+$\frac{1}{m+2n}$-$\frac{1}{m+3n}$+…+$\frac{1}{m+99n}$-$\frac{1}{m+100n}$）是关键．