Question

（1）如图（1）正方形ABCD中，AE⊥BF于点G，试说明AE=BF．
（2）如果把线段BF变动位置如图（2），其余条件不变，（1）中结论还成立吗？
（3）如果把AE与BF变动位置如图（3），结论还成立吗？

Answer 1

解：（1）AE=BF，
理由是：∵正方形ABCD，AE⊥BF，
∴AB=BC，∠C=∠ABE=∠AGB=90°，
∴∠BAE+∠ABG=90°，∠ABG+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠FBC，
在△ABE和△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF．

（2）结论还成立，
理由是：过H作HM⊥CD于M，
∵正方形ABCD，AE⊥HG，
∴AB=BC=HM，∠B=∠APH=∠HMG=∠AHM=90°，
∴∠BAE+∠AHP=90°，∠GHM+∠AHP=90°，
∴∠BAE=∠GHM，
与（1）证法类似：证△ABE≌△HMG，
即AE=HG．

（3）结论还成立，
理由是：过E作EN⊥BC于N，
由EN∥AB∥CD，HM∥BC∥AD，EN=AB=BC=HM，
∵∠EPH=∠HOE=90°，∠EQP=∠HQN，
∴∠NEF=∠GHM，
在△ENF和△HMG中
，
∴△ENF≌△HMG，
∴EF=HG．
分析：（1）根据正方形性质求出AB=BC，∠C=∠ABE=∠AGB=90°，根据三角形的内角和定理求出∠BAE=∠FBC，根据ASA证△ABE≌△BCF即可；
（2）过H作HM⊥CD于M，根据正方形性质求出AB=BC=HM，∠B=∠APH=∠HMG=∠AHM=90°，求出∠BAE=∠GHM，证△ABE≌△HMG即可；
（3）过E作EN⊥BC于N，推出EN∥AB∥CD，HM∥BC∥AD，EN=AB=BC=HM，求出∠NEF=∠GHM，根据ASA证△ENF≌△HMG即可．
点评：本题考查了正方形性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的理解能力和推理能力，题目具有一定的规律性．