Question

（1）如图，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC．求证：AB=DE．
（2）如图，已知点A（-3，4），B（-3，0），将△OAB绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA₁B₁．
①画出△OA₁B₁，并直接写出点A₁、B₁的坐标；
②求出旋转过程中点A所经过的路径长（结果保留π）．

Answer 1

考点：作图-旋转变换,全等三角形的判定与性质,弧长的计算

专题：

分析：（1）根据∠1=∠2，可得出∠BCA=∠ECD，然后利用SAS证明△ABC≌△DEC，继而可得出AB=DE；
（2）①分别作出A、B绕点O顺时针旋转90°后的点A₁、B₁，然后顺次连接A₁B₁、A₁O、B₁O，并写出点A₁、B₁的坐标；
②点A的路径为以OA为半径的弧长，根据弧长公式计算即可．

解答：（1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，
即∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，

CA=CD ∠ACB=∠DCE BC=EC

，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=DE．
 
（2）解：①如图所示：
A₁（4，3），B₁（0，3）；
②如图，在Rt△OAB中，
∵OB²+AB²=OA²，
∴OA=

32+42

=5，
∴l=

90×5π

180

=

5π

2

，
因此点A所经过的路径长为

5π

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及根据旋转变换作图，解答本题的关键是作出各点旋转后的对应点．