Question

如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，且PA=PD，⊙O为△APD的外接圆．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=8，tan∠DAC=

1

2

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,菱形的性质

专题：计算题

分析：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=

DF

AF

=

1

2

，DF=2，理由勾股定理计算出AD=2

5

，所以AE=

5

，在Rt△PAE中，利用正切的定义得tan∠1=

PE

AE

=

1

2

，则PE=

5

2

，设⊙O的半径为R，则OE=R-

5

2

，OA=R，在Rt△OAE中根据勾股定理得到R²=（R-

5

2

）²+（

5

）²，解得R=

5 5

4

．

解答：解：（1）直线AB与⊙O相切．理由如下：
连结OP、OA，OP交AD于E，如图，
∵PA=PD，
∴弧AP=弧DP，
∴OP⊥AD，AE=DE，
∴∠1+∠OPA=90°，
∵OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA，
∴∠1+∠OAP=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠OAP=90°，
∴OA⊥AB，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD，交AC于点F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DB与AC互相垂直平分，
∵AC=8，tan∠DAC=

1

2

，
∴AF=4，tan∠DAC=

DF

AF

=

1

2

，
∴DF=2，
∴AD=

AF2+DF2

=2

5

，
∴AE=

5

，
在Rt△PAE中，tan∠1=

PE

AE

=

1

2

，
∴PE=

5

2

，
设⊙O的半径为R，则OE=R-

5

2

，OA=R，
在Rt△OAE中，∵OA²=OE²+AE²，
∴R²=（R-

5

2

）²+（

5

）²，
∴R=

5 5

4

，
即⊙O的半径为

5 5

4

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的性质和锐角三角函数以及勾股定理．