Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+4，将点B（3，0）代入，得：a（3-1）²+4=0解得：a=-1∴解析式为：y=-（x-1）²+4
（2）如图，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF=HI，点E坐标为（2，3）
∴点A（-1，0），点B（3，0），点D（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：直线x=1．
∴点D与点E关于PQ对称，GD=GE 过A、E两点的一次函数解析式为：y=x+1
∴当x=0时，y=1
∴点F坐标为（0，1）
∴DF=2
又∵点F与点I关于x轴对称，∴点I坐标为（0，-1）
∴EI===2，
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG+GH+HI最小即可 DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小，过E（2，3）、I（0，-1）
解析式为：y=2x-1
∴当x=1时，y=1；当y=0时，x=；
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF+DG+GH+HF=DF+EI=2+2．
分析：（1）利用待定系数即可求得函数的解析式；
（2）在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF=HI，
只要使DG+GH+HI最小即可 DG+GH+HF=EG+GH+HI，只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小，求得直线EI的解析式，即可求解．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．