Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y=-

3

2

x+b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
（Ⅰ）若直线y=-

3

2

x+b过矩形OABC对角线交点，求b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当直线y=-

3

2

x+b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）当直线y=-

3

2

x+b沿y轴向

 

平移

 

个单位长度时，将矩形OABC沿平移后的直线折叠，带你O恰好落在边BC上．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（Ⅰ）根据直线y=-

3

2

x+b必过矩形的中心，然后求得矩形的中心坐标为（6，3），代入解析式即可求得b值；
（Ⅱ）假设存在ON平分∠CNM的情况，过O作OH⊥PM于H，解得OH=OC=6在直角三角形OPM中OP=12，从而求得∠OPM=30°，利用三角函数求得OM的长，从而求得DM的长；
（Ⅲ）假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处，连接PO′、OO′，得到△OPO′为等边三角形，从而得到∠OPD=30°，若设沿直线y=-

3

2

x+a将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处，连接P′O′、OO′，则有P′O′=OP′=a，在Rt△OPD和Rt△OCO′中，利用正切的定义求得a值即可得到将矩形OABC沿直线折叠，点O恰好落在边BC上．

解答：解：（Ⅰ）∵直线y=

3

2

x+b必过矩形的中心，
由题意得矩形的中心坐标为（6，3），
∴3=

3

2

×6+b
解得b=12．
（Ⅱ）假设存在ON平分∠CNM的情况，
过O作OH⊥PM于H，
∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，
∴OH=OC=6
由（Ⅰ）知OP=12，
∴∠OPM=30°
∴OM=OP•tan30°=4

3

当y=0时，由

3

2

x+12=0解得x=8，
∴OD=8
∴DM=8-4

3

．
（Ⅲ） 设沿直线y=

3

2

x+a将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处
连结PO′、OO′，则有P′O′=OP′=a
由题意得：CP′=a-6，∠OPD=∠CO′O
在Rt△OPD中，tan∠OPD=

OD

OP

在Rt△OCO′中，tan∠CO′O=

OC

O′C

，
∴

OD

OP

=

OC

O′C

，

8

12

=

6

O′C

，
解得O′C=9
在Rt△CP′O′中，由勾股定理得：（a-6）²+9²=a²
解得a=

39

4

，12-

39

4

=

9

4

，
所以将直线y=-

3

2

x+12沿y轴向下平移

9

4

个单位得直线y=-

3

2

x+

39

4

，将矩形OABC沿直线y=-

3

2

x+

39

4

折叠，点O恰好落在边BC上．

点评：本题考查了一次函数的综合运用，注意分类讨论思想的渗透，题目综合性强，难度较大．