Question

（2013年四川广安9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙0的切线．

（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）证明：如图，连接OD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°。

∴AD⊥BC。

∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC。

∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线。

∴OD∥AC。

∵DE⊥AC，∴OD⊥DE。

∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线。

（2）∵∠DAC=∠DAB，∴∠ADE=∠ABD。

∴在Rt△ADB中，。

∵AB=10，∴AD=8，

∵在Rt△ADE中，，∴。

∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA。

∴，即，解得。

【解析】（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论。

（2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE=，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF。　

考点：圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，平行的性质，切线的判定，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。