Question

观察、归纳：
（x-1）（x+1）=x²-1；（x-1）（x²+x+1）=x³-1；（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
…
则（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=________．
求1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶³=________．

Answer 1

xⁿ⁺¹-1    2⁶⁴-1
分析：根据前面三个等量关系易得（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=x ⁿ⁺¹-1（x的次数比n大1）；先把1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶³配成前面规律的结构得到（2-1）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶³），然后根据规律直接写出结果．
解答：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=x ⁿ⁺¹-1；
1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶³=（2-1）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶³）=2⁶⁴-1．
故答案为xⁿ⁺¹-1；2⁶⁴-1．
点评：本题考查了平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²．也考查了代数式变形能力以及整体思想的运用．