Question

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E为边BC上一点，且AE＝DC。

小题1:求证：四边形AECD是平行四边形
小题2:当等腰梯形ABCD满足__  ▲ 时（添加一个条件），
则四边形AECD是菱形。

Answer 1

小题1:∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠DCB，
∵AE=DC，
∴AE=AB，
∴∠B=∠AEB，
∴∠DCB=∠AEB，
∴AE∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形；（2分）
小题2:埴加∠B=2∠DCA
∵AE∥DC，
∴∠EAC=∠DCA，
∵∠B=2∠DCA，∠B=∠DCB，
∴∠DCB=2∠DCA，
∴∠ECA=∠DCA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴四边形AECD为菱形．（3分）

（1）由等腰梯形的性质（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B=∠DCB，又由等腰三角形的性质（等边对等角）证得∠DCB=∠AEB，即可得AE∥DC，则四边形AECD为平行四边形；
（2）根据平行线的性质，易得∠EAC=∠DCA，又由已知，由等量代换即可证得∠EAC=∠ECA，根据等角对等边，即可得AE=CE，则四边形AECD为菱形．