Question

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=CF，连接OE，OF．求证：OE=OF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：证明题

分析：欲证明OE=OF，只需证得△ODE≌△OCF即可．

解答：证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
AC=BD，OD=

1

2

BD，OC=

1

2

AC，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC-∠ODC=∠BCD-∠OCD，
即∠EDO=∠FCO，
在△ODE与△OCF中，

DE=CF ∠EDO=∠FCO OD=OC

，
∴△ODE≌△OCF（SAS），
∴OE=OF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．