Question

14．定义：如果将1×3×5×7×9×…×2015记为$\underset{\stackrel{1008}{π}}{n=1}$（2n-1）；计算$\underset{\stackrel{2015}{π}}{n=2}$（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）的结果是$\frac{1008}{2015}$．

Answer 1

分析 先按所给的定义表示出所要计算的式子，再按平方差公式进行展开：1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$），1-$\frac{1}{{3}^{2}}$=（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{3}$），…，进行约分后，得出结果．

解答 解：$\underset{\stackrel{2015}{π}}{n=2}$（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）×…×（1-$\frac{1}{201{5}^{2}}$），
=（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）（1+$\frac{1}{4}$）…（1-$\frac{1}{2015}$）（1+$\frac{1}{2015}$），
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{2014}{2015}$×$\frac{2016}{2015}$，
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2016}{2015}$，
=$\frac{1008}{2015}$．
故答案为：$\frac{1008}{2015}$．

点评 本题既考查了数字类的变化题，又是新定义的理解问题；此类题的解题思路为：①先根据新定义将式子展开，②变形，化简；注意平方差公式的运用及约分后剩余的式子．