Question

5．小明准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．
（1）请用a表示第三条边长．
（2）问第一条边长可以为7米吗？为什么？请说明理由．
（3）求出a的取值范围．
（4）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说出你的围法；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；
（2）本题需先根据a=7，求出三边的长，根据三角形三边关系进行判断；
（3）根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出a的取值范围；
（3）本题需先求出a的值，然后即可得出三角形的三边长．

解答 解：（1）∵第二条边长为（2a+2）米，
∴第三条边长为30-a-（2a+2）=28-3a（米）；
（2）不能．
当a=7时，三边长分别为7，16，7，
由于7+7＜16，所以不能构成三角形，
即第一条边长不能为7m；
（3）根据题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+2＞28-3a}\\{a+28-3a＞2a+2}\\{2a+2+28-3a＞a}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{13}{3}$＜a＜$\frac{13}{2}$，
即a的取值范围是$\frac{13}{3}$＜a＜$\frac{13}{2}$．
（4）能围成．
在（3）的条件下，a为整数时，a只能取5或6．
当a=5时，三角形的三边长分别为5，12，13．
由5²+12²=13²知，恰好能构成直角三角形．
当a=6时，三角形的三边长分别为6，14，10．
由6²+10²≠14²知，此时不能构成直角三角形．
综上所述，能围成满足条件的小圈，它们的三边长分别为5m，12m，13m．

点评 本题主要考查了勾股定理、三角形三边关系以及一元一次不等式组的应用，在解题时根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键．